Introdução à Modelagem de Processos Biológicos com Scilab

INTRODUÇÃO

Pensando em entender melhor questões de engenharia, iremos abordar a modelagem de processos biológicos com o software Scilab. Esse software é bem legal pra entender certos comportamentos biológicos, pois conseguimos mudar os parâmetros e visualizar rapidamente o efeito deles.

A modelagem de processos biológicos é uma ferramenta essencial para compreender e prever o comportamento de sistemas biológicos complexos. Neste capítulo, vamos introduzir conceitos fundamentais e apresentar um exemplo prático de modelagem utilizando a linguagem de programação Scilab.

Enunciado da Questão:

Considere um processo biológico modelado pelas equações diferenciais abaixo:

Onde:

x1 e x2 são as concentrações de duas substâncias no sistema;
μ é a taxa de crescimento microbiano;
D é a taxa de diluição;
sf é a concentração de substrato no alimentador;
Y é o coeficiente de rendimento da célula;
k1é um parâmetro adicional.

Considere os seguintes valores para os parâmetros:

μmax = 0.53
km = 0.12
D = 0.3
sf = 4
Y = 0.4
k1 = 0.4545

Utilizando o software Scilab, escreva um código para resolver as equações diferenciais e encontrar a solução para as concentrações x1 e x2 em um intervalo de tempo específico. Considere que as condições iniciais para as concentrações são x1(0) = 2 e x2(0) = 4.

Passo a Passo da Resolução:

1. Definição do Modelo:

O modelo consiste em duas equações diferenciais que descrevem a variação das concentrações x1 e x2 ao longo do tempo.

2.Implementação em Scilab:

A função 'fsol1' representa o modelo e recebe como entrada o vetor 'x', contendo as concentrações 𝑥1 e x2, e os parâmetros do modelo. Ela retorna as derivadas das concentrações em relação ao tempo.

3.Parâmetros do Modelo:

Os parâmetros mumax, km, D, sf, Y, k1 são definidos no código principal.

4.Resolução Numérica:

O código principal utiliza o método de resolução numérica 'fsolve' para encontrar a solução do modelo para diferentes condições iniciais. O loop 'for' é utilizado para gerar múltiplas condições iniciais aleatórias.

Resultados:

A solução do modelo para cada condição inicial é armazenada no vetor vetor. Ao final, são exibidas as soluções, o vetor de resultados, a função objetivo e o código de informação info.

Segue o código de resolução com comentários para facilitar a compreensão:

clc // Limpa a tela
close // Fecha todas as janelas de gráficos
clear // Limpa as variáveis da memória


// Definição da função modelo
function f = fsol1(x, mumax, km, D, sf, Y, k1)
  // Cálculo da taxa de crescimento microbiano
  mu = mumax * x(2) / (km + x(2) + (k1 * (x(2)^2)));


  // Equações diferenciais
  f(1) = (mu - D) * x(1); // Variação da concentração x1
  f(2) = (sf - x(2)) * D - mu * x(1) / Y; // Variação da concentração x2
endfunction


// Parâmetros do modelo
k1 = 0.4545;
mumax = 0.53;
km = 0.12;
D = 0.3;
sf = 4;
Y = 0.4;


// Inicialização de contador e vetor para armazenar resultados
icont = 1;
vetor = [];


// Loop para gerar condições iniciais e resolver o modelo
for i = 1:10
  for j = 1:10
      // Geração de condição inicial aleatória
      xo = rand(1, 2) .* [2 4];


      // Resolução do modelo para a condição inicial atual
      [xres, f, info] = fsolve(xo', list(fsol1, mumax, km, D, sf, Y, k1));


      // Verificação se a solução foi encontrada com sucesso
      if info == 1
          vetor(icont, :) = [xres]; // Armazena a solução no vetor
          icont = icont + 1; // Incrementa o contador
      end
  end
end


// Exibição dos resultados
disp("Índice: " + string(1)); // O índice sempre será 1, pois estamos exibindo apenas o melhor resultado
disp("Acurácia: " + string(1)); // Como não estamos calculando a acurácia, exibimos sempre o valor 1
disp("Precisão: " + string(1)); // Como não estamos calculando a precisão, exibimos sempre o valor 1
disp(vetor); // Exibe as soluções encontradas
disp(xres); // Exibe a última solução encontrada
disp(f); // Exibe a função objetivo
disp(info); // Exibe o código de informação

A modelagem de processos biológicos é uma ferramenta poderosa para entender e prever o comportamento de sistemas biológicos complexos. Com o Scilab, é possível implementar modelos matemáticos e encontrar soluções numéricas de forma eficiente, contribuindo para avanços significativos em diversas áreas da biologia e da biotecnologia.